Hanna Alström wurde als jüngere Schwester der Schauspielerin Sara Alström (* 1975) geboren. Gemeinsam mit ihrer Schwester spielte sie am Stockholmer Kindertheater Unga Teatern. Ihr Filmdebüt gab sie 1989 in der Astrid-Lindgren-Verfilmung Goldi, in der sie die Rolle der Berit spielte.
Von 1989 bis 1993 stand sie in Kinderrollen am Königlichen Dramatischen Theater (Dramaten) auf der Bühne, wo sie v…